E második kiadásra két okból kerül sor már egy éven belül. Egyrészt azért, mert elkészítettem e “harmadik rész” angol fordítását és így szükségképpen és párhuzamosan át kellett tekintenem a magyar verziót is. Ezért elkerülhetetlenné vált a magyar változat újbóli ellenőrzése. Az észlelt és zavaró matematikai elírásokat – ebből akadt néhány – kijavítottam. Másodszor azért is kerül sor egy év multán az új kiadásra, mert az angol nyelvre fordítás felkínálta a lehetőséget a meghatározások és bizonyítások alaposabb áttekintésére, a megfogalmazások helyenkénti egyszerűsítésére, pontosítására. Ugyanakkor lehetővé vált a corolláriumok számának bővítése. Sőt, sor kerülhetett a definíciók és az axiómák terén némi átcsoportosításra is, s ezzel lehetőség nyílt arra, hogy az úgynevezett általános könyvvitel és a speciális vagyonkönyvvitel princípiumai egyértelműen kettéválhassanak. Így már értelme lett annak is, hogy a vagyontól különböző speciális könyvvitelekre illusztráló fiktív példákat illesszek be függelékként. Mindazonáltal kijelenthetem, hogy az n-szeres könyvvitel axiomatikus rendszere az alapvető felépítését és tartalmát tekintve mit sem változott az első kiadáshoz képest – mert logikusan nem is változhatott.

***

Lényegében a könyvem, melynek megírásához az 1997. év végi tudományos problémafelvetést követően a 2000. év elején kezdtem — e harmadik részét kivéve, és természetesen magyar nyelven — a 2003. év végére elkészült.

Tartalmát, akkor, a középiskolai tudásszintnél többet nem igénylő és célzatosan népszerűsítő jelleggel írt első és második rész, valamint a függelék képezte. Úgy tűnt: minden fontosabb alapismeretet, amit a hagyományos könyvvitellel, illetve az általam leírt modern N-szeres (N³ 3) vagyonkönyvvitellel kapcsolatban el lehetett mondani, azt mind kifejtettem.

Ekkor olvastam először Szász Gábor 1972-ben kiadott “Az axiomatikus módszer” című könyvét. Ebben az I. fejezet 2. pontja a matematika tudománnyá válásról szól. Szász kifejti: "Sem az egyiptomiak, sem a babiloniak nem foglalták szabályokba matematikai ismereteiket. Vagyis, mai nyelven szólva, nem alkottak tételeket, hanem csak mintapéldákat állítottak össze, s ezeken a konkrét számszerű példákon mutatták be a számítási módszereket.

A mai matematikának már a középiskolás fokán általánosan használt olyan kifejezési formák, mint a definíció, tétel, axióma és bizonyítás az ógörög kultúrában alakultak ki, s eközben a matematika tapasztalati ismeretek gyűjteménye helyett deduktív tudománnyá vált."

Azonnal beláttam, hogy a tradicionális könyvviteltannak, sem Paccioli előtt sem Paccioli óta, máig nincs szabatosan megfogalmazott, egyértelmű és egymásra épülő tudományos fogalmakból álló, ellentmondástól mentes fogalomrendszere, nincsenek axiómái és nincs egymásra épülő bizonyított tételrendszere sem. Igaz ez az általam felvázolt — már egzakt definíciókat, axiómákat, tételeket, illetve ezek összefüggéseit is említő — eddig elkészült modern N-szeres vagyonkönyvviteltanra is. Tehát a könyvviteltan, mint tudomány, ebben az állapotában, úgy, ahogy volt, nem lépte túl a matematika tapasztalati ismeretek gyűjteménye 2500 évvel ezelőtti babiloni-egyiptomi szintjét.

Pedig a lehetőség Euklidész óta, azaz legalább kétezer háromszáz éve adott volt. Lehető volt, hogy modern módon írják le a könyvvitel tanát is, hasonlóan a már akkor fejlett tudományt jelentő matematikához, geometriához.

De a könyvvitel N-szeres (N≥3) voltát is felfedezhették volna, már az antikvitásban is, de Paccioli korában már mindenképp. Ugyanis bármely gazdasági esemény következett be, már az ókorban is, az sohasem csak két, azaz eszköz és forrás (tőke) aspektusát mutatta a vagyon és/vagy az adósság változásának, hanem mindig eleve legalább három aspektusét. Pl.: ha vettünk valamely árut hitelre, akkor e gazdasági eseményről legalább három paraméter adatát ismertük azonnal: (1) a változás időpontját, (2) a megvett vagyontárgy típusát (fajtáját) és (3) a vásárlás forrását, azaz azt, hogy idegen tőkét (pl. hitelből) vagy saját tőkét fektettünk-e be. És bármely más gazdasági eseménynél ugyanezt tapasztaljuk. E három paraméter adat-3-asa (mint az esemény koordináta-3-asa) pedig azonnal, még mielőtt egyáltalán bármit is könyveltünk, természetes módon kijelölte és így létrehozta, vagy megváltoztatta az idő-, eszköz- és forrásaspektusú, a változás által érintett természetes vagyonosztályokat, meghatározta természetes módon, az idő-eszköz-forrás aspektusú vagyonosztályozásokból álló komplett dinamikus és statikus vagyonosztályozási rendszert, nevezzük így, (most, e példa szerint) a háromserpenyős mérleget. De ezt a könyvelők és a könyvvitel professzorai több mint 2300 éven át nem ismerték fel. Pedig ez az adat-3-as, amióta csak gazdálkodik az ember, attribútuma a gazdasági eseményeknek és benne van és volt mindig is a könyvelés könyvelők által ismert adathalmazában, ha agyagtáblára könyveltek is. Csak ezt sem ismerték fel.

A hagyományos könyvvitel és tana több mint 2300 éven át nem fejlődött kielégítően. Paccioli írta először le 1494-ben egy kezdetleges kettős könyvvitel alkalmazását, egy egyszerű példán bemutatva azt. Shär megalkotta 1890-ben a zárt számlarendszert (Németül: “Das geschlossene Kontensystem”. Schmalenbach és Kosiol 1933-ban megálmodtak egy úgynevezett dinamikus mérleget, amelyek voltaképp statikusak. A könyvviteltan eközben, Pacciolitól Schmalenbachig, eljutott a kettős könyvvitel ún. egyszámlasoros számlaelméletétől, a XX. század elejére, tehát 400 év alatt, a kettős könyvvitel ún. négy számlasoros számlaelméletéig. Voltaképpen, a hagyományos könyvviteltan, 1910-től napjainkig, azaz egy teljes évszázadon át megvalósult apróbb változtatásaitól eltekintve fejlődésképtelenül stagnált. Professzoraik máig leírják, hogy létezik és használható az ún. egyszeres könyvvitel, ami alapvető tévedés. Ezt is bizonyítom ebben a munkában. És a kettős könyvvitel számlaelméleteitől sem tudtak elszakadni még a személyi számítógépek megjelenése után, a XX. század végén megkezdődött PC korban sem. Sőt, a szoftverfejlesztők is, könyvelő programjaikkal, máig, egyszerűen utánozzák a manuális kettős könyvvitelt, így azok is konzerválják az elavult könyvviteli ismereteket és gyakorlatot. E műben ezt is bizonyítom.

A hagyományos könyvvitelnek és tanának fejlődése mára zsákutcába jutott, s e tan egyenesen ortodoxszá vált.

Ezért 2004 elején elkerülhetetlennek láttam a könyvviteli elemek felállítását megkísérelni és ezen keresztül az n-szeres (n≥3) komplett (azaz kielégítően informatív és a gazdasági eseményekre nézve zárt rendszerű) könyvvitel létét, tulajdonságait és az általa nyílt lehetőségek tág terét bemutatni. Bizonyítom továbbá, egzakt módon, hogy mind az ún. egyszeres könyvvitel, mind az ún. kettős könyvvitel inkomplett. Ezek oktatása és “használata”, leginkább ma a PC-k korában hátráltatja a gazdasági szereplők kielégítő információval való ellátását – és ráadásul nem egyszerűsíti a könyvelési munkát sem.

Döntöttem. Felfüggesztettem a könyvkiadás előkészületeit, s hozzáfogtam a vagyonkönyvviteli elemek összeállításához, Ez történt egymásra épülő definíciók, axiómák, tételek, sokszor új, addig fel sem merült tételek megfogalmazásával és bizonyításával. E tevékenység, a könyvviteli elemek koherens rendszerbe foglalásával, kellemes meglepetésként, további új ismereteket is hozott.

Noha időközben betegség és műtét miatti hosszas lábadozás valamint kereső foglalkozásom (outsider vagyok nem főfoglalkozású kutató) is akadályozott célom mielőbbi elérésben, mindazonáltal most, az eredményt végre itt közreadhatom. Ezen biztosan lehet csiszolni. Lehet ezt bővíteni is és javítani is. (E 2. kiadás is ezt tükrözi.) Sőt! Másképp is fel lehet ezt az axiomatikus rendszert építeni — ez ma már egyrészt tudományos közhely, másrészt tapasztalható tény. Tény, ha összevetjük például az euklideszi és a Bolyai-Lobacsevszkij, valamint a Hilbert-féle geometriákat, mint axiomatikus rendszereket. Tény viszont az is, hogy az általam leírt modern könyvviteltannak ez az axiomatikus rendszere többé már nem kerülhető meg és nem hagyható figyelmen kívül, megítélésem szerint, sem az oktatásban, sem a tudományos kutatásban.

Tehát e pillanattal a könyvviteltan is átlépett az egzakt, egyértelmű és koherens terminusokkal valamint alaptételekkel megalapozott ún. bizonyító, deduktív tudományok közé. Ha 2300 évet késve is, de át! Ennek itt volt az ideje.

A könyvviteltan az n-szeres könyvvitelek axiomatikus rendszerének létrejöttével tehát egyfelől csatlakozott a modern, egzakt tudományok sorába, másfelől — hasonlóan például a fizikához, a kémiához, a pedagógiához, stb. — tárgyánál fogva végleg két alapvető tudományágra bomlott: az elméleti könyvvitel és az alkalmazott könyvvitel tanára, melyek ugyanakkor kölcsönösen össze is függnek egymással. Az elméleti könyvvitel tárgya: a tapasztalatokból elvont alaptételek segítségével a valósággal egyező általános és speciális könyvviteli törvények feltárása. A vagyonkönyvvitel elméleti ismereteit gyarapította például Paccioli (1494) az első könyvviteli leírással, L. Flori (1633) a perszonális számlaelmélet, Augspurg (1852), Hügli (1887), Shär (1888), Kuntner (1908) Niklisch (1911) a két-, Leitner (1909) és Le Coutre (1926) a három-, illetve Schmalenbach („Der Kontenrahmen”, 1927) és Burri (1940) a négy-számlasoros számlaelmélet, továbbá: Shär (1890) a zárt számlarendszer („Das geschlossene Kontensystem”), valamint Schmalenbach és Kosiol (1933) az úgynevezett dinamikus könyvviteli mérleg megalkotásával. Minden olyan ismeret pedig, ami az előbbieken kívül van az alkalmazott könyvvitel tárgyát képezi. Így az egyes nemzeti és ágazati, stb. sajátosságoknak, például a magyar számviteli törvény, vagy az amerikai számviteli sztenderdek szerinti könyvelés alapelveinek és szabályainak, valamint egyes konkrét gyakorlati könyvelési és mérleg- stb. megoldásoknak az ismertetése az alkalmazott könyvvitel tárgykörébe tartozik.

Végül fontos azt is leszögezni: az n-szeres könyvvitelek axiomatikus rendszerének elméletrendszere nem teszi használhatatlanná, érvénytelenné az eddigi könyvelési gyakorlatot. Ellenben e tudomány fejlődésén kívül, mind a menedzsment információigényének korszerű kielégítése, mind a könyvelőszoftverek ehhez igazodó érdemi továbbfejlesztése előtt megnyitja az utat.

E mű az azonos című könyv (438 oldal) harmadik fejezeteként (ez a könyv utolsó kb. 100 oldala) maga a tömény, bár középiskolás tudásszinttel is megérhető elméleti része a modern könyvviteltannak. Aki (népszerűsítő jelleggel is írt) további részletes magyarázatokat kíván, annak javasolom először az említett könyv első két részének az elolvasását – mely már az OSZK-n kívül a nagyobb egyetemi könyvtárakban és a Fővárosi Szabó Ervin Könyvtár fiókjaiban is magyar nyelven hozzáférhető.

Budapest, 2011. december 17.

Gulyás István

közgazdász

5. Statikus osztálynak nevezem az olyan osztályt, amely elemként a (0;t] időintervallum valamely p. (p≤t és p,t=1,2,..) időpontjában az alaposztály e részében bennlévő vagy abból a p. időpontban vagy előbb elveszett elem(eke)t tartalmaz vagy tartalmazhatna az osztályozási aspektus szerint. Az ilyen vagyonosztályokat eredményező osztályozás neve statikus osztályozás, mely mindig egy p. időpontra vonatkozik.
6. Dinamikus osztálynak vagy másképp a (V) változások osztályának nevezem azt az osztályt, amely az (r;t] időintervallumba (0≤r<t és r,t egész szám) eső valamelyik időpillanatban az alaposztályba (ill. annak egy adott részébe) be- és/vagy további elem(ek)ként onnan kikerült eleme(eke)t (elemadagokat) tartalmaz, avagy az osztályozási aspektus szerint tartalmazhatna. Az ilyen osztályokra vezető osztályozás neve dinamikus osztályozás, mely mindig az elem(ek) [elemadag(ok)] alaposztályba való be- és/vagy kikerülése, másképp: a változások (az alaposztály elemösszességének, vagy részének növekedése és/vagy csökkenése), azaz az események kronológiája szerint alakul.
7. A C csökkenések osztálya az adott V változások osztályának az a részosztálya (CÍ V), amely tartalmazza az (r;t] időintervallumban (0≤r<t és r,t egész) vagy előbb (pl. a (0;r] intervallumban) az alaposztályba bekerült és/vagy a V-ben az (r;t] intervallumban az alaposztályból kikerült elemként lévő tárgya(ka)t. Azonban az (r;t] intervallumban az alaposztályból kikerült x elem akkor és csak akkor lehet eleme a C-nek is, ha ugyanez az x elem be is került a V osztályba az (r;t] időintervallumban vagy előbb (pl. a (0;r] intervallumban).
8. Az E egyenlegosztály az (r;t] időintervallumban (0≤r<t és r,t egész) adott azonos aspektusú V változások és C csökkenések osztályának a V-C=E különbségosztálya. Jellemzője az E különbségosztálynak, hogy EÇ C=Æ és EÈ C=V. Továbbá: Mivel V-C=E, ezért E minden elemének megvan az a tulajdonsága, hogy az a t. időpontban bennlévő vagy hiányzó eleme a V-nek, ezért ezt az (r;t] intervallumhoz tartozó E egyenlegosztályt egyben a t. időponthoz tartozó statikus osztályként is értelmezzük, akkor és csak akkor, ha (a) r=0 azaz: ha a V-hez, C-hez és az E-hez tartozó időintervallum a (0;t], vagy (b) ha r≠0 akkor E egyenlegosztályként a (0;r] intervallum és az (r;t] intervallum egyenlegosztályának az unióját tekintjük.
9. Valamely O_D dinamikus osztályhoz illetve az O_S statikus osztályhoz tartozó fő- vagy részösszeg egyenlő az (r;t] időintervallumban (0≤r<t és r,t egész) az O_D osztályba be- és onnan kikerült, illetve a t. időpontban az O_S osztályban bennlévő és az onnan hiányzó tárgyak mennyiségének vagy pénzértékének (vagy ezek pozitív együtthatós lineáris transzformáltja értékének) a különbségével (másképp: egyenlegével).
10. Komplex vagy összetett dinamikus osztályozás alatt azt a dinamikus osztályozást értjük, amelyben az elemeket, az időaspektus mellett, más aspektus szerint is osztályozzuk. Ha például A₁ aspektus szerint is osztályozunk, akkor A₁-jellegű, ha A₂ aspektus szerint is osztályozunk, akkor A₂-jellegű összetett dinamikus osztályozásról beszélünk.

1. Bruttóvagyon alatt a gazdálkodó adott időpontban létező vagyonát alkotó vagyontárgyainak összességét vagy összes mennyiségét vagy összes pénzbeli értékét értjük.
2. Nettóvagyon (másképp: saját vagyon) alatt a gazdálkodó adott időpontban, azonos mértékegységben kifejezett bruttóvagyonának és adósságának (másképp: idegen vagyonának) a különbségét értjük.
3. Leltározásnak nevezzük a gazdálkodó adott időpontban fellelhető (létező) bruttó- és nettóvagyona, valamint adóssága/idegen vagyona individuumainak mennyiség és pénzérték, de legalább mennyiség szerinti teljes körű számbavételét.
4. Leltárnak nevezzük a leltározással nyert adatok összességét.

6. A gazdálkodás eszközének, röviden: eszköznek nevezzük a vagyon bármely tárgyát, ha osztályba sorolásakor tulajdonságai közül csak a fajtáját ill. gazdálkodásbeli rendeltetését vesszük tekintetbe, míg más tulajdonságától elvonatkoztatunk. Ezt az osztályozásnál figyelembevett tulajdonságot eszközaspektusnak nevezzük. Eszközök (eszközfajták) alatt azokat a természetes statikus vagy dinamikus attribútum vagyonosztályokat értjük, melyeknek minden eleme egy eszközaspektusnak megfelelő vagyontárgy, illetve az ilyen vagyontárgyak dinamikus vagyonosztályba való be- és/vagy onnan való kikerülése miatt létrejött vagyonváltozás.
7. Eszköz jellegű vagyonosztályozás alatt mindazokat a vagyonosztályozásokat értjük, amelyekben legalább eszközaspektus szerint osztályozunk.
8. Forrásnak, a vagyon forrásának vagy más elnevezéssel: az eszközökben testet öltő, a gazdálkodáshoz szükséges és annak révén gyarapodó vagy fogyó tőkének nevezzük a vagyon bármely tárgyát, ha osztályba sorolásakor azt a tulajdonságát vesszük csak figyelembe, hogy az a gazdálkodó saját tulajdona (saját vagyon) avagy másnak tartozik azzal (idegen vagyon), míg más tulajdonságától elvonatkoztatunk. Ezt az osztályozásnál figyelembevett tulajdonságot forrás- vagy tőkeaspektusnak nevezzük. Források vagy tőkék (forrás- vagy tőkefajták) alatt azokat a természetes statikus vagy dinamikus attribútum vagyonosztályokat értjük, melyeknek minden eleme egy forrás- vagy tőkeaspektusnak megfelelő vagyontárgy, illetve az ilyen vagyontárgyak dinamikus vagyonosztályba való be- és/vagy onnan való kikerülése miatt létrejött vagyonváltozás.
9. Forrásjellegű vagyonosztályozás alatt mindazokat a vagyonosztályozásokat értjük, amelyekben legalább forrásaspektus szerint osztályozunk.
10. Időaspektusú vagyonosztályozásnak (röviden: időosztályozásnak) nevezem az olyan természetes dinamikus attribútum vagyonosztályozást, amely az (r;t] intervallum t időpontjában (0≤r<t és r,t egészek) létező bruttóvagyonnak vagy valamely részének a változásait M darab (M=2,3...) diszjunkt végső időosztályba sorolja, a változások időpillanata szerint. Az időaspektusú attribútum vagyonosztályozásnál az osztályozandó vagyontárgy(ak) minden tulajdonságától elvonatkoztatunk, kivéve, hogy a vagyonba be vagy onnan ki az (r;t] intervallumban illetve annak valamely adott részintervallumában került(ek), azaz ekkor növeli(k) vagy csökkenti(k) a vagyont. Időosztályozáskor két vagyontárgy akkor és csak akkor kerülhet ugyanabba az intervallumba (időosztályba), ha a vagyonba való be- vagy abból való kikerülésük időpontja mindkettőnek ugyanabban az időosztályban van.
11. Adósságjellegű vagyonosztályozás alatt a forrásjellegű vagyonosztályozásnak azt a részét értjük, amelyben az adósságalosztályba tartozó vagyontárgyakat, azaz az idegen vagyon tárgyait másodlagosan nem időaspektus, hanem más aspektus szerint osztályozunk.

1. Ha valamely időpontban egy eszközaspektusú statikus vagyonosztály nem üres, azaz: van benne egy vagy több vagyontárgy, akkor és csak akkor az osztály vagyontárgyak mennyiségét kifejező fő- vagy részösszege nagyobb, mint nulla (A₁).

P.: 1./T₁.

2. Ha egy adott időpontban valamely statikus osztály üres, akkor és csak akkor az osztály fő- vagy részösszege egyenlő nullával. (A₂).

P.: 1./T₃,T₄,T₅,T₇,T₁₁,T₁₂,T₁₃,T₁₄,T₁₈,T₁₉,T₂₁,T₂₃,T₂₄,T₂₉.

3. Bármely dolog pénzbeli értéke, azaz egységára, csak pozitív szám lehet (A₃).

P.: 1./T₁.

4. Ha egy osztályozás páronként diszjunkt osztályain valamely mértékfüggvény (vagy annak pozitív együtthatós lineáris transzformáltja) értelmezett, akkor e függvény által a végső osztályokhoz rendelt részösszegek összege egyenlő az alaposztályhoz rendelt főösszeggel (A₄).

P.: 1./T₁, T₁₁, T₁₆, T₁₉, T₂₈.

5. Legyen V a változások dinamikus osztálya, C a V-nek megfelelő csökkenések dinamikus osztálya és E ezek dinamikus különbség (vagy egyenleg) osztálya (V-C=E) a (0;t] időintervallumban (t=1,2,..). Továbbá legyen E’ a V-beli változások eredményeként létrejött statikus osztály a t. időpontban, melyre áll, hogy E’=E. Ekkor a (0;t] időintervallumban a V változás-osztályban az események kapcsán történt változások (növekedések és/vagy csökkenések) különbsége (vagy: ha a csökkenések negatív előjelűek, akkor algebrai összege), azaz a V-C=E főösszege egyenlő a t. időpontbeli E’ statikus osztályhoz tartozó összeggel — legyen az akár fő- akár részösszeg (A₅).

P.: 1./T₁₁, T₁₆, T₂₇, T₂₈.

6. Egy (abszolút vagy relatív) alaposztálynak nincs két azonos osztályozása (A₆).

P.: 1./ T₁, T₁₆, T₁₇, T₁₈.

7. Ha a gazdálkodó magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor annak nagysága és pénzértéke, de legalábbis a pénzértéke (vagy más pozitív együtthatós lineáris transzformáltjának értéke) — a természeti és/vagy társadalmi és/vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására — az idő múlásával monoton csökkenve tart a nullához (A₇).

P.: 1./T₁₅, T₁₇, T₂₉.

1.122 Az adósság axiómái

8. Ha a gazdálkodónak valamely időpontban van vagyona, akkor van — azonos mérték szerinti — azzal egyenlő vagy nem egyenlő nagyságú adóssága is; viszont ha nincs vagyona, akkor vagy adóssága sincs, vagy csak adóssága van — és más eset nem lehetséges (A₈).

P.: 1./T₃, 3./T₁, T₃, T₄.

9. Az adós gazdálkodónak van hitelezője és adóssága, mellyel a hitelezőjének tartozik, hitelezőjének pedig van követelés formájában lévő vagyona, melyet adósától követelhet (A₉).

P.: 1./T₂, 3./T₁, T₃, T₄.

10. Az adós adott időpontban létező adóssága egyenlő hitelezőjének vagy hitelezőinek vele szemben ugyanakkor fennálló — az adós által elismert — összes követelésével (A₁₀).

P.: 1./T₂.

11. Ha a gazdálkodó magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor adósságának mértéke — a természeti és/vagy társadalmi és/vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására — az idő múlásával monoton növekedve tart a plusz végtelenhez (A₁₁).

P.: 1./T₁₅, T₁₇.

1.123 Gazdasági és általános esemény-axiómák

12. Gazdasági esemény csak a gazdálkodó gazdasági tevékenységének vagy gazdasága természeti-, társadalmi- ill. gazdasági környezetének hatására következik be (A₁₂).

P.: 1./T₁₅, T₁₉.

13. Ha valamely esemény megtörtént, akkor ismert legalább: (1) annak megnevezése, akivel/amivel az esemény törtét (2) az esemény időpontja, (3) az esemény neve vagy leírása, melyből a az érintett osztályozási rendszerben megváltozó részösszegű végső osztályokra lehet következtetni, (4) a változás mennyisége és/vagy pénz- vagy más értéke (vagy ezek más pozitív együtthatójú lineáris transzformáltjának értéke) (A₁₃). Ezt az alaptételt (axiómát) az esemény-attribútumok törvényének fogom nevezni.

P.: 1./T₁₅, T₁₉, T₂₈.

14. Az eseményeknek a megváltozó részösszegekhez — időosztályokon kívül — tartozó végső osztályokat és a változásuk jellegét megjelölő adata (azaz az esemény “megnevezése” vagy leírása) és az esemény koordinátái, jelentésüket tekintve ekvivalensek és kölcsönösen egyértelműen megfelelnek egymásnak (A₁₄).

P.: 1./T₁₉, 2./T₇.

15. Valamely t. időpontban (t=1,2,...) bekövetkezett gazdasági esemény kapcsán az érintett vagyonosztályozás [a] egyetlen végső vagyonosztályának részösszege nő, vagy [b] csökken egy D X>0 összeggel (a csökkenésre — jelölje c — áll: c=-D X<0), vagy [c] egyik végső vagyonosztályának részösszege egy D X>0 összeggel csökken, míg egy másiknak a részösszege ugyanezen D X>0 összeggel nő (a [c] esetben nevezzük az eseményt csak struktúraváltó vagy röviden kompenzatív gazdasági eseménynek). Más jellegű elemi vagyonváltozás, gazdasági esemény kapcsán, nem lehetséges (A₁₅).

P.: 1./T₉, T₁₉. 3./T₆.

16. A gazdasági események között vannak olyanok, amelyek nem érintik a gazdálkodó pénzeszközeit (A₁₆).

1. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,...) létező bruttóvagyon, illetve annak bármely eszközaspektusú statikus vagyonosztályában lévő része mennyiségét és pénzértékét (vagy más jellemzője mértékét) csak pozitív számmal fejezhetjük ki (formulával: V>0, avagy másképp jelölve: V_BR=J_i>0, ahol J_i>0 a különböző fajta javak egy eszközaspektusú, statikus, nem üres végső osztályának részösszege, minden i-re - a t időpontban) (T₁).

p₁(O₁),p₂(O₂),…,p_i(O_i),…,p_n(O_n).

Mármost, az A₁ axióma szerint a nem üres eszközaspektusú i. végső vagyonosztályban (i=1,2,…,n) a t. időpontban létező vagyontárgyak mennyiségét kifejező q_i(O_i) részösszeg csak pozitív szám lehet. De az i. osztályhoz tartozó p_i(O_i) egységár szintén csak pozitív szám lehet (A₃ axióma). Viszont ekkor a q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i) (i=1,2,…,n) szorzat is csak pozitív szám lehet, mert pozitív számok szorzata pozitív.

Mindebből következik, hogy q_i(O_i),p_i(O_i),q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i)>0 (i=1,2,…,n), valamint mert a pozitív számok összege pozitív, ezért q_i(O_i)>0 és é_i(O_i)>0.

Továbbá az A₄ axióma szerint: “Ha egy vagyonosztályozás páronként diszjunkt osztályain valamely mértékfüggvény (vagy annak pozitív együtthatós lineáris transzformáltja) értelmezett, akkor e függvény által a végső osztályokhoz rendelt részösszegek összege egyenlő az alaposztályhoz rendelt főösszeggel.” Ekkor igaz a következő két összefüggés:

(O)=q₁(O₁)+…+q_i(O_i)+…+q_n(O_n)=q_i(O_i),

(O)=é₁(O₁)+…+é_i(O_i)+…+é_n(O_n)=q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i).

Ugyanakkor mert (O)=q_i(O_i) és q_i(O_i)>0 igaz, valamint mert (O)=é_i(O_i) és é_i(O_i)>0 is igaz, ebből következik, hogy (O)>0 és (O)>0 is igaz.

(O)=q₁(O₁)+…+q_i(O_i)+…+q_n(O_n)=q_i(O_i)>0 és

(O)=é₁(O₁)+…+é_i(O_i)+…+é_n(O_n)=q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i)>0,

P.: 1./T₂, T₃, T₄, T₅, T₆, T₇, T₈, T₉, T₁₁, T₁₂, T₁₄, T₁₅, T₁₆,

K.: 1./A₁, A₃, A₄, A₆.

Legyen G₀ az a gazdálkodó, akinek a feltététel szerint — pl. a leltár alapján — a t. időpontban (t=1,2,..) van adóssága. Jelölje adóssága mértékét (azaz a statikus adósságosztály főösszegét) — jelölésben elvonatkoztatva most is a t. időponttól — A₀.

Mutassuk meg, hogy A₀>0.

Minthogy a G₀ gazdálkodónak van adóssága, ezért szükségképpen van neki hitelezője A₉ szerint. Legyen ez a hitelező, pl. most egyedül a G₁ gazdálkodó, akinek tartozik A₀-al G₀. Mivel G₁ hitelezője G₀-nak, ezért G₁-nek (azonos dimenzióban számszerűsítve) az A₀ adóssággal megegyező mértékű (K₁=A₀) elismert K₁ követelése kell legyen G₀-al szemben. Az A₁₀ szerint ugyanis az adós adóssága egyenlő hitelezőjének (vagy hitelezőinek) vele szemben fennálló összes, elismert követelésével. Tehát G₁ bruttóvagyonának (V₁) egy része, vagy egésze a G₀-al szembeni követelés (K₁) formájában ölt testet (A₁₀), azaz fennáll: K_1£ V₁ (ld. T₂ ábra).

Ámde a T₁ tételből tudjuk, hogy a t. időpontban létező bruttóvagyon és az eszközaspektusú statikus vagyonosztályaiba tartozó részeinek mennyisége, illetve pénzértéke csak pozitív számmal fejezhető ki, következésképpen G₁ bruttóvagyona V₁>0, és ez vonatkozik e vagyon bármely eszközaspektusú nem üres vagyonosztálya részösszegére, így a követelésére is. Azaz: K₁>0 is igaz. Mivel K₁>0 és K₁=A₀, ezért ebből közvetlenül folyik A₀>0 volta.

Azonos gondolatmenet alapján megmutatható, hogy a pozitivitás fennáll az A₀ adósság minden nem üres végső osztályába tartozó adósságfajták részösszegeire is, azaz: A_0,1+..+A_0,j+..+A_0,N=A₀>0, ahol A_0,j>0 egy a végső és nem üres statikus adósságosztály részösszegei közül.

P.: 1./T₃, T₄, T₅, T₁₁, T₁₂, T₁₃, T₁₄, T₁₅, T₂₁, T₂₉.

K.: 1./A₉, A₁₀, T₁.

A t. időpontban (t=1,2,...) a gazdálkodó bruttó vagyonának nagyságát (azaz: eszközaspektusú statikus vagyonosztályozásának főösszegét) jelölje a V változó (V³ 0 T₁ és A₂ szerint). Ugyancsak a t. időpontban, a gazdálkodó V-vel azonos dimenzióban számszerűsített adósságának nagyságát (azaz: az adósság statikus relatív alaposztálya főösszegét) jelölje az A változó (A³ 0 T₂ és A₂ szerint) — a jelölésben elvonatkoztatva t-től. E jelölésekkel a tételt felírva, azt kell megmutatni, hogy a t. időpontban: V-A0.

A V³ 0 és az A³ 0 számokkal kifejezett vagyon illetve adósság nagyságára A₈ szerint igaz, hogy vagy V>A vagy V=A vagy V<A, azaz együtt: VA.

Most e reláció mindkét oldalából A-t elvéve közvetlenül folyik, hogy a V-A0 formulával felírt tétel igaz.

P.: 1./T₄, T₂₉.

K.: 1./A₂, A₈, T₁, T₂.

4. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) adott nettó vagyon mértéke, mint a nem negatív bruttóvagyon forrásaspektusú relatív alaposztályának főösszege bármilyen előjelű szám lehet (V_NE0) (T₄).

Legyen V_NE=V_S a gazdálkodó nettó (vagy saját) vagyonának, V (V³ 0; T₁,A₂) a bruttóvagyonának, A pedig (A³ 0; T₂,A₂) az adósságának nagyságát a t. időpontban (t=1,2,...) azonos mértékegységben kifejező változó. Azt kell megmutatnunk, hogy a t. időpontban V_NE=V_S 0 — mellőzve az időpont jelölését.

Mármost T₃ szerint V-A0. Mivel a vonatkozó definíció szerint a V-A különbséget nettó vagyonnak nevezzük, itt pedig V_NE-val jelöljük, ezért V_NE=V-A. De V-A0 ezért igaz, hogy V_NE=V_S 0.

Megjegyzés: Ha valamely t. időpontban V_NE=V_S=0, akkor a hozzá tartozó O_S sajátvagyon osztály üres (A₂ szerint) és nyilván V_BR=V_I. Viszont ha V_S>0, akkor van(nak) O_S–nek eleme(i) a t. időpontban, ez(ek) a vagyon forrásaspektus szerint osztályozott eme részében lévő vagyontárgy(ak). Ha pedig a t. időpontban V_S<0, akkor O_S eleme(i) a V_BR nagyságú bruttóvagyonból a t. időpontban hiányzó azon vagyontárgy(ak) – e hiányzó rész nagyságát jelölje D V_BR -, melyek a V_I nagyságú adósság megfizetéséhez még kellenek a V_BR vagyonmennyiségen felül. Azaz: ha D V_BR=-V_S, akkor nyilván V_BR+D V_BR=V_I. Éppen e vagyonhiányt érzékelteti ekkor a V_S<0, a vonatkozó definíció szerint.

P.: 1./T₅.

K.: 1./A₂, T₁, T₂, T₃

5. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) a nem negatív bruttóvagyon forrásaspektusú felosztásával keletkező két statikus alosztály közül a saját vagyonosztály főösszege bármilyen előjelű szám lehet (V_S0) a bruttóvagyon és az idegenvagyon nagysága függvényében, az idegen vagyonosztály főösszege pedig csak nem-negatív szám (V_I³ 0) lehet, miközben V_S+V_I³ 0 (T₅).

Bármely t. időpontban (t=1,2,..) a bruttóvagyon nagyságát kifejező V_BR és az adósság (másképp: az idegen vagyon) nagyságát kifejező V_I változó értéke nem-negatív (T₁, T₂, A₂ szerint). Ha a V_BR bruttóvagyonból kivonjuk a V_I adósságot, akkor a V_NE=V_S nagyságú nettó- illetve saját vagyont kapjuk (T₄ szerint) — szintén a t. időpontban. Azaz írhatjuk:

(1) V_BR-V_I=V_S, majd ezt átrendezve, hogy:

(2) V_BR=V_S+V_I.

Először azt kell megmutatni, hogy V_S+V_I³ 0 bármely t. időpontban.

Minthogy V_BR³ 0 bármely t. időpontban (T₁ és A₂ szerint), ezért írható, hogy

(3) V_BR=V_S+V_I³ 0 — bármely t. időpontban.

Ez után azt kell megmutatni, hogy V_S0 és V_I³ 0 miközben a feltétel és (3) szerint V_BR=V_S+V_I³ 0 (bármely t. időpontban).

Mivel V_S=V_NE0 és (1) szerint V_BR-V_I=V_S, ezért írhatjuk azt, hogy

(4) V_BR-V_I=V_S0, azaz

(5) V_BR-V_I0, vagyis: (6) V_BRV_I, miközben V_BR³ 0 és V_I³ 0 igaz (bármely t. időpontban).

Az A₈ axiómából pedig tudjuk, hogy vagy (a) V_BR>V_I vagy (b) V_BR=V_I vagy (c) V_BR<V_I miközben mindkettő nem-negatív. Következésképpen (4), (5) és (6) igaz (3) mellett úgy, hogy (a), (b) és (c) is igaz, hiszen V_BR–nak és V_I-nek nincs felső korlátja, azaz bármilyen nagy számok lehetnek, csak a 0 alsó korlátjuk létezik. Ezért pl. ha V_BR=0 akkor V_I=-V_S (miközben V_I³ 0) vagyis ekkor a saját vagyon abszolút értékben azonos az idegen vagyonnal, de V_S≤0.

Tehát igaz, hogy V_S0 és V_I³ 0 miközben V_BR=V_S+V_I³ 0 (bármely t. időpontban).

P.: 1./T₁₁, T₁₅, T₂₉.

K.: 1./A₂, A₈, T₁, T₂, T₄.

A gazdálkodó fektessen be hát gazdaságába pl. pénzt és egy ingatlant a gazdálkodása kezdetén, mint a kezdő vagyon tárgyait. Jelölje ennek az eszközaspektus szerinti kezdő vagyonnak a teljes nagyságát V. Ugyanakkor a kezdőtőke definíciója szerint fennáll: T=V (T és V mértékegysége azonos). De a T₁ értelmében V>0, így T=V>0, s ezért T>0.

Tőkeemelés esetén a bevitt többletvagyon nagysága: D V>0 (T₁). A tőketöbbletet jelölje D T. A kezdőtőke definíciója szerint D T=D V, viszont D T=D V>0 (T₁ értelmében), ezért D T>0. (D T és D V mértékegységeik azonosak). Az emelt kezdőtőke értéke T’=T+D T. De T>0 és D T>0, tehát T’>0.

Tőkeleszállításnál legyen T’=T-D T, ahol D T a T-nél kisebb, de nullánál nagyobb (0<D V=D T<T) vagyonnal egyenlő tőkenagyság (T₁), mellyel leszállítjuk (azaz csökkentjük) T összegét.

P.: 1./T₁₁, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./T₁.

7. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) a nettó vagyon tőketartalék nevű statikus osztályához tartozó részösszeg (T_R) csak nulla vagy nullánál nagyobb szám lehet. (T_R³ 0) (T₇).

A tőketartalék összegét jelölje T_R. Azt kell megmutatnunk, hogy T_R³ 0.

Legyen a tartalékba helyezett vagyontárgy pénz és/vagy más dolog. Jelölje ezt a t. időpontban (t=1,2,...) tartalék címén bevont eszközaspektusú bruttóvagyonrész mértékét V_R. A definíció szerint tehát T_R=V_R (T_R és V_R egyneműek). De a T₁ tétel szerint V_R>0, ha van bevont vagyon. Ekkor tehát írható: T_R=V_R>0, ezért fennáll: T_R>0.

Viszont, ha még nincs — vagy már nincs — bevont, tartaléknak szánt vagyon, azaz az osztály üres, akkor T_R=V_R=0 (A₂).

P.: 1./T₇/C, T₁₁, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./A₂, T₁.

K.: 1./T₇.

A gazdálkodó, a t-ik időponttal bezárólag (t=1,2,...) érjen el H mértékű hozamot. Azt kell megmutatnunk, hogy ekkor H>0.

Öltsön tehát testet ez a sajátvagyontöbblet — egy gazdasági esemény kapcsán —, mondjuk azonnali készpénzbevétel formájában, s jelölje e pénz mennyiségét B. Ekkor a definíció alapján H=B (H és B egyneműek). De T₁ alapján a vagyon és bármely részének mennyisége/értéke csak pozitív szám lehet. B, mint készpénztöbblet (készpénznövekmény), szintén az eszközaspektusból tekintett vagyon része, tehát B>0 (T₁). Következésképpen írható, hogy B=H>0.

Hasonlóképp lehet megmutatni, hogy, ha a hozam pl. követelésben (melyet csak esedékességkor egyenlítenek majd ki), vagy G₀ adóssága elengedésével sajátvagyonává váló eszközökben, vagy — barterügylet eredményeként — áruban, avagy szolgáltatásban, stb. ölt testet, a tétel akkor is igaz.

P.: 1./T₈/C, T₁₁, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./T₁.

K.: 1./T₈.

A gazdálkodó gazdaságában, a t-ik időpontig bezárólag (t=1,2,...) bekövetkezett gazdasági esemény(ek) kapcsán, keletkezzen R számértékű ráfordítás (költség). Azt kell megmutatnunk, hogy a nem üres ráfordításosztályhoz tartozó R részösszeg kisebb, mint nulla (R<0).

Most a sajátvagyoncsökkenés öltsön testet például valamely igénybevett szolgáltatás ellenértékének megfizetéseként jelentkező azonnali készpénzkiadás formájában — mely az A₁₅ axióma szerint csökkenti a létező P' pénzkészletet. De P'>0 a T₁ tétel alapján. Ámde, ha a ráfordítás valamely P'-nél nem nagyobb P>0 (T₁) pénzadag kiadását jelenti, akkor P-t le kell vonni (el kell venni) P'-ből. Következésképp e pénzkiadás mint negatív szám csökkenti a pozitív előjelű P' pénzkészletet (az A₁₅ axióma szerint). Ezért jelölje e kiadott készpénzmennyiséget -P, amely a ráfordítás említett definíciója szerint egyenlő R-el, azaz fennáll R=-P (R és P azonos mértékegységű). Viszont -P<0, következésképp: R=-P<0, azaz -P=R<0.

P.: 1./T₈/C, T₁₀, T₁₁, T₁₂.

K.: 1./A₁₅, T₁.

K.: T₉.

Jelölje H a halmozott ill. a folyóidőszaki hozam mértékét, R a hozammal egynemű halmozott ill. folyóidőszaki ráfordításét, |R| az előbbi abszolút értékét, E pedig a halmozott ill. folyóidőszaki eredmény, előbbiekkel egyneműen kifejezett számértékét a t-ik időpontban (t=1,2,...). A továbbiakban az egyszerűség érdekében, akár halmozott, akár folyóidőszaki értékről van szó, csak hozamot, ráfordítást és eredményt említek, melyek mindig azonos időszakra vonatkoznak — a halmozott vagy a folyóidőszaki jelző nélkül — ez megtehető.

Az a) eset feltétele szerint: H<|R|. De H-|R|<|R|-|R|, viszont |R|-|R|=0 és ezért H-|R|<0. Ugyanakkor T₉ szerint R<0 és ezért |R|=-R. Így írhatjuk, hogy: H-|R|=H-(-R)=H+R<0.

K.: 1./T₉.

K.: 1./T₁₀.

Jelöljön O egy eszköz vagy forrás aspektus szerinti statikus vagyonosztályt a t=M időpontban (t,M=1,2,...). Jelölje V azt a vagyonváltozások-osztályt a (0;M] időintervallumban, amely a (0;M] időintervallumban bekövetkezett vagyonváltozások révén az M. időpontban az O osztályban lévő vagyont (vagy vagyonhiányt) eredményezte.

Ugyanakkor jelölje V_M(O) az O statikus vagyonosztályához a M. időpontban tartozó fő- ill. részösszeget, továbbá jelölje V_(0,M](V) a V vagyonváltozások osztályának a V_M(O) összeggel azonos mérték szerint kifejezett főösszegét, I(t) pedig a V változásosztály valamely dinamikus időosztálya részösszegét. E jelölésekkel felírva igaz: V_(0,M](V)=I(t) (A₄). Ekkor a tétel formulája a következő:

V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)³ 0 (t,M=1,2,...) kivéve a sajátvagyon, az eredmény és a ráfordítás esetét. Ezt kell megmutatni.

(1/a) V_M(O)³ 0 T₁,T₂,T₆,T₇,T₈ és A₂ alapján, ha O nem a sajátvagyon, az eredmény vagy a ráfordítások osztálya, különben:

(1/b) V_M(O)0 T₅ és T₁₀/C alapján, ha O a sajátvagyon vagy az eredmény osztálya, valamint

(1/c) V_M(O)£ 0 T₉ és A₂ alapján, ha O a ráfordítás osztálya.

Ez a V_M(O) összeg a (0;M] időintervallumbeli azonos dimenziójú vagyonváltozások algebrai összegeként jött létre, tehát A₅ szerint fennáll

(2) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t) és (t,M=1,2,...).

(3/a) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)³ 0 (t,M=1,2,...), valamint a sajátvagyon vagy az eredmény osztály esetén:

(3/b) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)0 (t,M=1,2,...), továbbá ráfordításosztálynál

(3/c) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)£ 0 (t,M=1,2,...), ahol (3/b) és (3/c) esetében T₅, T₉ és T₁₀/C szerint csak a relációjelben van különbség.

P.: 1./T₁₁/C₁, T₁₁/C₂, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./A₂, A₄, A₅, T₁, T₂, T_5, T₆, T₇, T₈, T₉.

P.: 1./T₁₂.

K.: 1./T₁₁.

Corollárium 2: E tételből nyilvánvaló, hogy ha a (0;M] időintervallum V_t időosztályaihoz (t=1,2,...,M) tartozó I(t,V_t) részösszegekből egyértelműen következik az M-ik időponthoz tartozó O_M statikus vagyonosztály V(t,O_M) értéke, de V(t,O_M) értékéből nem következik egyértelműen az egyes I(t,V_t)-k értéke. Ám ez az összefüggés igaz V(t,O_M)-ra és statikus alosztályainak részösszegeire is.

K.: 1./T₁₁.

Legyen O_S a feltétel szerinti statikus vagyonosztály, s a t=M időpontban (M egész) legyen nem üres vagy üres. Jelölje V_t(O_S)=V_M(O_S) az O_S osztályhoz tartozó fő- vagy részösszeget a t=M időpontban. Először (I.) legyen V_M(O_S)>0, ha O_S a t=M időpontban nem üres (T₁, T₂, T₆, T₇, T₈, T₁₁/C₁) majd V_M(O_S)=0, ha O_S akkor épp üres (A₂). Ezt a két esetet egy relációjellel kifejezve: V_M(O_S)³ 0. Másodszor (II.) vizsgálandó a tétel V_M(O_S)£ 0 mellett (T₉, T₁₁/C₁, A₂). A feltétel szerint ugyanis ez a két helyzet állhat fenn.

(I.) Az O_S-t eredményező a (0,M] időintervallumbeli O_V vagyonváltozások osztályát osszuk fel M darab időosztályra. A t. időosztály részösszegét jelölje I(t), ahol t=1,2,..,K,...,M (K is egész). Legyen továbbá V_K(O_V) az O_V vagyonváltozás-osztály első K időosztályához tartozó K darab részösszeg összege, képletben: V_K(O_V)=I(t), ahol 1≤K≤M.

(1) Ha V_M(O_S)³ 0, akkor V_K(O_V)=I(t)³ 0, ahol 1≤K≤M.

K=M esetén a tételbeli állítás nyilván a feltétel és T₁₁ szerint igaz, azaz: V_M(O_V)=I(t)³ 0.

(2) Ha V_M(O_S)³ 0, akkor V_K(O_V)=I(t)³ 0 és (1≤K≤M-1).

(3) V_M(O_S)³ 0 mellett V_K(O_V)=I(t)<0, ha 1≤K≤M-1.

Ámde T₁₁ szerint V_M(O_V)=I(t)³ 0, ha t=1,2,...,K,...,M-1,M. Azaz, ha t=K, akkor igaz:

(4) V_K(O_V)=I(t)³ 0, ahol 1≤K≤M-1.

Viszont így V_K(O_V)-ra két érték adódik:

V_K(O_V)<0 (3) szerint és V_K(O_V)³ 0 (4) szerint. Azaz: V_K(O_V) kisebb, mint nulla és V_K(O_V) nem kisebb, mint nulla — egyszerre. De ez nem lehetséges. Egy állítás és az ellenkezője egyszerre nem lehet igaz. Mivel a (4) szerinti állítás a bebizonyított T₁₁ tételnek felel meg, így az az igaz, s csakis a (3) szerinti, a T₁₁ tétellel ellentétes állítás a hamis.

(II.) Könnyen belátható, hogy a tétel V_M(O_S)£ 0 mellett (T₉) ugyanígy igazolható, csak az egyenlőtlenségjelek irányát kell megfordítani.

K.: 1./A₂.

A t=M időpontban (t,M=1,2,..) létező vagy akkor már (vagy még) nem létező bruttóvagyon vagy annak bármely statikus osztályában lévő része nagyságát jelölje V_BR(t)=V_BR(M), mint fő- vagy részösszeg. V_BR(M)>0, ha a vagyon vagy az adott része a t=M időpontban létezik (T₁, T₂, T₆, T₇, T₈) és V_BR(M)=0, ha akkor nem létezik (A₂). Együtt: V_BR(M)³ 0. E vagyont vagy részét eredményező dinamikus vagyonosztályozás főösszegét jelölje V(M).

E jelölésekkel és T₁, T₂, T₆, T₇, T₈ és T₁₁ valamint A₂ alapján írhatjuk, hogy

(A) V_BR(M)=V(M)=I(t)³ 0.

A (B) I(K)³ 0 (1≤K≤M) nem mond ellent a T₁, T₂, T₆, T₇, T₈, T₁₁ tételeknek és A₂-nek, vagyis a feltételnek is megfelelő (A) V_BR(M)=I(t)³ 0 formulának. Tehát (B) igaz.

Először a (C) esettel ellentétben tegyük fel, hogy I(K)<0 lehet akkor, ha 1≤K≤M. Legyen pl. mindjárt I(1)<0. Ámde ekkor a bruttóvagyonnak vagy részének rögtön az első időosztályához tartozó részösszege negatív, miközben (A) igaz, ami lehetetlen, mert a T₁₂.L. szerint ekkor I(1)³ 0 lehet csak.

Így (C’)-ben |I(K)|=-I(K)>V(K-1). Most adjunk -I(K)>V(K-1) mindkét oldalához I(K)-t. Ekkor írhatjuk, hogy

K.: 1./A₂, T₁, T₂, T₆, T₇, T₈, T₁₁, T₁₂.L.

P.:

Jelölje a bruttóvagyon nagyságát V_BR (V_BR>0; T₁), az adósságét/idegenvagyonét V_I (V_I>0; T₂). A saját vagyon nagyságát pedig jelölje V_S (V_S=V_BR-V_I a vonatkozó definíció szerint) és V_S0 T₅ szerint.

Mármost az A₇ axióma szerint, ha a gazdálkodó valamely t_mh (ahol t_mh=1,2,...) időpontban magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor annak nagysága és pénzértéke, de legalábbis a pénzértéke (vagy más lineáris transzformáltjának mértéke)(A₁₃) — a természeti vagy társadalmi, vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására (A₁₂) — az idő múlásával monoton csökkenve tart a nullához.

Továbbá, az A₁₁ axióma szerint: ha a gazdálkodó valamely t_mh időpontban magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor a gazdálkodó adósságának mértéke — a természeti vagy társadalmi, vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására (A₁₂) — az idő múlásával monoton növekedve tart a plusz végtelenhez.

A₇ és A₁₁ axiómák által megszabott ellentétes monotonitásokból következik, hogy az idő múlásával lesz egyetlen olyan t_N (t_mh£ t_N) időpont, amelytől kezdve, vagy amely után a V_S=V_BR-V_I különbség, azaz a saját vagyon negatív és negatívitása — az idő múlásával — monoton nő, azaz V_S tart a mínusz végtelenhez (V_S ® -¥ ). (Több t_N időpont létezése az A₇ és A₁₁ axióma által szabott ellentétes tendenciájú monotonitások miatt kizárt.)

16. Tétel: ==…=≥0, azaz: ha a (0,t] időintervallumbeli bruttóvagyon-változások alaposztályát és/vagy annak t. időpontbeli (t=1,2,…) egyenlegosztályát n-féleképpen (n³ 2), azaz tetszőleges, de különböző A₁,A₂,..,A_n vagyonaspektus szerint osztályozzuk, vagy egy A_n+1 aspektusú vagyonosztályozásával kiegészítjük, akkor e vagyonosztályozási rendszer osztályozásainak szerkezete különböző, míg az egymással azonos dimenziójú főösszegei mind egyenlők (T₁₆).

Jelöljük a (0,t] időintervallumban történt bruttóvagyon-változások alaposztálya és/vagy annak a t. időponthoz tartozó egyenlegosztálya tetszőleges A₁,A₂,...,A_i,..,A_n, illetve A_n+1 vagyonaspektus szerinti osztályozásainak szerkezetét a vagyonosztályokhoz tartozó S^A részösszegek összegével. Ezek rendre:

(1) ,,...,,...,, ill.

ahol x,y,u,w ,x >0 és egész. Az (1) formulákkal szimbolizált vagyonosztályozások szerkezete mind különböző, mert az A₆ axióma szerint a (0,t] időintervallumbeli vagyonváltozásoknak illetve a t. időpontbeli vagyonnak nincs két azonos vagyonosztályozása.

(2) ==...==...=≥0.

Az (1)-beli vagyonosztályozások részösszegeinek összege A₄ szerint egyenlő az S_Ai-vel (i=1,2,3,...,n,n+1) jelölt főösszegükkel, és így minden i-re fennáll:

(3) S_A1=, S_A2=,...,S_Ai=,...

...,S_An=, illetve S_An+1=.

(4) S_A1=S_A2=...=S_Ai=...=S_An≥0. Ezt kell megmutatni.

(I.) Ha n=2, akkor (5) S_A1=S_A2≥0 az igazolandó állítás.

Jelölje most V_BR a (0;t] intervallumban történt bruttóvagyon-változások bármely aspektusú dinamikus vagyonosztályozásának főösszegét. Valamint jelölje V^’_BR a (0;t] intervallumban történt bruttóvagyon-változások egyenlegeinek t. időponthoz tartozó bármely aspektusú statikus osztályozásának főösszegét. V_BR=V^’_BR az A₅ axióma szerint, függetlenül attól, hogy a V_BR főösszeg dinamikus vagy statikus osztályozás főösszege és attól is, hogy milyen az osztályozási aspektusa.

A t. időpontban a bruttóvagyon V_BR főösszeggel adott mennyisége vagy pénzértéke (vagy más, pozitív együtthatójú lineáris transzformáltjának értéke) T₁ és A₂ szerint nem kisebb, mint nulla (V_BR≥0). Ugyanakkor A₄ szerint fennáll: V_BR=S_A1 és V_BR=S_A2. Ám amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők, s ezért igaz: S_A1=S_A2≥0. Tehát n=2 esetén (5) és így (4) és (2) is igaz.

Vegyük tehát az n tagú (4) egyenlőséglánchoz hozzá a (3)-beli, V_BR nagyságú vagyon A_n+1 aspektusnak megfelelő újabb (A₆) vagyonosztályozása S_An+1 főösszegét (A₄). Ekkor igazolandó:

(6) S_A1=S_A2=...=S_Ai=...=S_An=S_An+1≥0.

Mármost, a feltétel, valamint T₁ és A₄, A₅ alapján S_An+1-re fennáll: V_BR=S_An+1≥0.

De V_BR=S_An≥0 is igaz a feltétel, valamint T₁ és A₄, A₅ alapján. Ekkor tehát S_An és S_An+1 is ugyanazzal a V_BR-val egyenlő és nem kisebb, mint nulla. Ezért: S_An=S_An+1. Viszont a feltétel szerint S_Ai=S_An is igaz (i=1,2,...), következésképp az S_Ai=V_BR≥0 is igaz (i=1,2,...). De láttuk, hogy S_Ai és S_An+1 is ugyanazzal a S_An-el egyenlő, és amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők, azaz: S_An+1 minden S_Ai-vel (i=1,2,...,n) is egyenlő, és nem kisebb, mint nulla.

I^M=E^M=F^M=…=X^M>0, ahol a különböző

• a t=M-ik időpontra összegezett számsorú (részösszegű) időosztályozást I^M=I(t)>0 (T₁₂),
• az eszközosztályozást E^M=J_i>0 (T₁),
• a forrásosztályozást F^M=V_S+V_I>0 (T₅),
• míg az előbbiektől különböző (A₆), valamely lehetséges aspektusú, szintén t=M-ik időpontra összegezett számsorú, N-ik osztályozást [pl. a bruttóvagyon hitelezők H aspektusa szerinti felosztását] X^M=

Az I^M=E^M=F^M=…=X^M>0 formulával kifejezett tételt a bruttóvagyon N-aspektusú (N³ 3 és egész), dinamikus és statikus szerkezeti törvényének nevezem.

17. Tétel: J_i(t)=V_S(t)+V_I(t)≥0, azaz a bruttóvagyon IE-IF-aspektusú dinamikus vagyonosztályozási rendszerének a t=1,2,…,M időpontokhoz tartozó azonos dimenziójú E-F-aspektusú főösszegei és ezek t=M időpontig számított összegei egyenlők (T₁₇).

A T₁₆/C₁ szerint valamely t. időpontban a bruttó vagyon E-F-aspektusú statikus osztályozása fő- és részösszegeire érvényes a következő (1) formula:

(1) J_i=V_S+V_I≥0. Ámde a bruttó-, a nettó vagyon és az adósság (1) alatti összege, természete szerint (A₇,A₁₁,A₁₅), időbeni változások algebrai összege. Ezért a bruttóvagyon E-F-aspektusú változásait, az időpontot jelölő t szerint (t=1,2,...,M) a (t-1;t] időintervallumonként összegeznünk lehet. Állítom, hogy ekkor a bruttóvagyon változásainak IE-IF-aspektusú dinamikus vagyonosztályozási rendszerére fennáll a tétel szerint:

(2) J_i(t)=V_S(t)+V_I(t)≥0, valamint a (2) egyenlőségrésze két összegének bármely t. tagjára, hogy:

(3) J_i(t)=V_S(t)+V_I(t) (t=1,2,...,K,...,M) (Ld. az alábbi y₁ táblázatot).

A (2) formulában a két főösszeg J_i(t) valamint V_S(t)+V_I(t) a bruttó vagyon két különböző osztályozását reprezentálja a feltétel és a vonatkozó definíciók, valamint A₆ szerint. Továbbá ezek az összegek, az említett definíciók alapján, egyenként a bruttó vagyon főösszegével egyenlők. E két ok miatt a (2) formula nyilvánvalóan azonos a T₁₆ tételbeli általános formulával az n=2 esetben. Tehát a tétel (2) formulával jelölt állítása igaz.

(4) J_i(K+1)+J_i(t)=V_S(K+1)+V_I(K+1)+V_S(t)+V_I(t),

mert a (4) alatti formula azonos a következő egyenlőséggel: J_i(t)=V_S(t)+V_I(t).

(5) J_i(K+1)=V_S(K+1)+V_I(K+1) (t=K+1=2,...,M), ellenkező esetben, ha (5) egyenlőségei nem állnának fenn, akkor (4) sem lenne igaz, noha bizonyítottuk, hogy igaz.

E tételt a bruttóvagyon idő-eszköz- és idő-forrás aspektusú dinamikus szerkezeti törvényének nevezem (T₁₇).